Question

已知正项递增的等差数列{a_n}，s_n为数列{a_n}的前n项和，若s₃=12，且2a₁，a₂，a₃+1成等比数列．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）令cn=

an

3n

，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由s₃=12，即a₁+a₂+a₃=12，利用等差数列的性质可得3a₂=12．设数列{a_n}的公差为d（d＞0），由题意得，a22=2a1•(a3+1)，即a22=2(a2-d)•(a2+d+1)即可得出d及a_n．
（2）利用“错位相减法”和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）∵s₃=12，即a₁+a₂+a₃=12，
∴3a₂=12，a₂=4．
设数列{a_n}的公差为d（d＞0），
由题意得，a22=2a1•(a3+1)，a22=2(a2-d)•(a2+d+1)
得d=3或d=-4（舍），
∴a₁=a₂-d=1，
∴{a_n}的通项公式：a_n=3n-2．
（2）bn=

an

3n

=

3n-2

3n

=(3n-2)

1

3n

，
∴Tn=1×

1

3

+4×

1

32

+7×

1

33

+…+(3n-2)×

1

3n

，①

1

3

Tn=1×

1

32

+4×

1

33

+…+(3n-5)×

1

3n

+(3n-2)×

1

3n+1

，②
①-②得

2

3

Tn=

1

3

+3×

1

32

+…+3×

1

3n

-(3n-2)×

1

3n+1

=

5

6

-

1

2

×

1

3n-1

-(3n-2)×

1

3n+1

∴Tn=

5

4

-

6n+5

4

×

1

3n

．

点评：本题考查了等比数列、等差数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”扥个基础知识与基本方法，属于中档题．