Question

【题目】已知函数，其中

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）若对成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) 当时，的单调减区间为，没有增区间；当时，的单调增区间为，单调减区间为.

（2）.

【解析】分析：（Ⅰ）求函数的单调性，应先求函数的定义域。函数的定义域为。。求函数的单调区间，令，则。因为定义域为，所以。解此不等式和的正负有关。

故分和 两种情况讨论。当时，因为，进而可得在上是减函数；当时，由，可得，进而得。所以当时，，时，，进而可得在上是减函数，在上是增函数。

（Ⅱ）由对成立可得对成立，分离变量可得时，恒成立。构造函数，只需即可，所以求导可得函数的单调性，进而求其最大值，可得实数的取值范围.

详解：（Ⅰ）定义域为，，

当时，，在上是减函数，

当时，由得，

当时，，时，，

∴在上是减函数，在上是增函数，

综上，当时，的单调减区间为，没有增区间.

当时，的单调增区间为，单调减区间为.

（Ⅱ）化为，∴时，，

令，∴，

当时，，∴.

∴在上是减函数，∴即.