题目内容

定义在[0，1]上的函数f（x）满足f(0)=0，f(x)+f(1-x)=1，f(
x
5
)=
1
2
f(x)，且当 0≤x1＜x2≤1时，f(x1)≤f(x2)．则f(
1
2013
)等于（　　）
分析：能灵活运用题目中的条件f（x）+f（1-x）=1，f（
x
5
）=
1
2
f（x）解决问题．理解当0≤x1＜x2≤1时，有f（x1）≤f（x2）的含义并能对抽象函数的解题思路了如指掌．
解答：解：由f（x）+f（1-x）=1，f（0）=0得：f（1）=1，
令x=
1
2
得：f（
1
2
）+f（1-
1
2
）=1，解得f（
1
2
）=
1
2
，
由f（
x
5
）=
1
2
f（x）得：f（
1
5
）=
1
2
f（1）=
1
2
，
∵当0≤x1＜x2≤1时，有f（x1）≤f（x2），
∴当
1
5
≤x≤
1
2
时，f（x）=
1
2
；
当
1
2
≤x≤
4
5
时，
1
5
≤1-x≤
1
2
，∴f（1-x）=
1
2
，∴f（x）=1-f（1-x）=
1
2
，
又由f（
x
5
）=
1
2
f（x）得：f（
1
2013
）=
1
2
f(
5
2103
)=
1
4
f(
25
2013
)=
1
8
f(
125
2013
)=
1
16
f(
625
2013
)，
∵
1
5
＜
625
2013
＜
1
2
，∴f（
625
2013
）=
1
2
，
∴f（
1
2013
）=
1
16
×
1
2
=
1
32
，
故选C
点评：此题考查了抽象函数与单调性问题．在解答的过程当中充分体现了特值的思想、函数的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会反思
练习册系列答案
相关题目
函数f（x）的定义域为D，若对于任意x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数．设函数f（x）为定义在[0，1]上的非减函数，且满足以下三个条件：
①f（0）=0；②f（1-x）+f（x）=1x∈[0，1]； ③当x∈[0，
1
3
]时，f(x)≥
3
2
x恒成立．则f(
3
7
)+f(
5
9
)=
 
．
（2009•上海模拟）对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．
①对任意的x∈[0，1]，总f（x）≥0；
②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2成立．
已知函数g（x）=x2与h（x）=a&•2x-1是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，讨论方程g（2x-1）+h（x）=m（m∈R）解的个数情况．
（2008•南京模拟）函数f （x）是定义在[0，1]上的函数，满足f （x）=2f （
x
2
），且f （1）=1，在每一个区间（
1
2k
，
1
2k-1
]（k=1，2，3，…）上，y=f （x）的图象都是斜率为同一常数m的直线的一部分，记直线x=
5
3×2n
，x=
1
2n-1
，x轴及函数y=f （x）的图象围成的梯形面积为an（n=1，2，3，…），则数列{an}的通项公式为
12-m
9×22n+1
12-m
9×22n+1
．（用最简形式表示）
对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．
①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；
②当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，总有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．
已知函数g（x）=x2与h（x）=a•2x-1是定义在[0，1]上的函数．
（1）试问函数g（x）是否G函数？并说明理由；
（2）若函数h（x）是G函数，求实数a的值；
（3）在（2）的条件下，是否存在实数m，使方程g（2x-1）+h（x）=m恰有两解？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由．
若定义在[0，1]上的函数f（x）同时满足：①f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0且x1+x2≤1，则f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立．则称函数f（x）为“梦函数”．
（1）试验证f（x）=2x-1在区间[0，1]上是否为“梦函数”；
（2）若函数f（x）为“梦函数”，求f（x）的最值．

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