Question

若函数f（x）=|sinx|（x≥0）的图象与过原点的直线有且只有三个交点，交点中横坐标的最大值为α，则

(1+α2)sin2α

α

=

 

．

Answer 1

分析：先根据题意画图，然后令切点为A（α，-sinα），α∈（π，

3π

2

），在（π，

3π

2

）上，根据切线的斜率等于切点处的导数建立等式关系，即可求出α=tanα，代入所求化简即可求出所求．

解答：解：函数f（x）=|sinx|（x≥0）与直线有且只有三个交点如图所示，
令切点为A（α，-sinα），α∈（π，

3π

2

），在（π，

3π

2

）上，f'（x）=-cosx
∴-cosx=-

sinα

α

即α=tanα，
故

(1+α2)sin2α

α

=

(1+tan2α)sin2α

tanα

=

sin2α

sinαcosα

=2
故答案为：2

点评：本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，以及三角函数的运算，属于中档题．