题目内容
已知抛物线y2=2px(p＞0),过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，且|AB|≤2p.
(1)求a的取值范围.
(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.
解析:
(1)设直线l的方程为:y=x－a,代入抛物线方程得(x－a)2=2px,即x2－2(a+p)x+a2=0
∴|AB|=
≤2p. ∴4ap+2p2≤p2,即4ap≤－p2
又∵p＞0,∴a≤－
.
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2)，AB的中点 C(x,y),
由(1)知，y1=x1－a,y2=x2－a,x1+x2=2a+2p,
则有x=
=p.
∴线段AB的垂直平分线的方程为y－p=－(x－a－p),
从而N点坐标为(a+2p,0）
点N到AB的距离为
从而S△NAB=
当a有最大值－时，S有最大值为
p2.
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