题目内容
已知函数f（x）=ax3+bx2，（a，b∈R）在x=2时有极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y=0平行．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若x∈[1，4]时，求函数f（x）的最大值和最小值．
（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）若x∈[1，4]时，求函数f（x）的最大值和最小值．
分析：（Ⅰ）由f（x）在x=2时取得极值得f'（2）=2，由图象在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y=0平行得f'（1）=-3，联立方程组可求得a，b；
（Ⅱ）求出函数f（x）在[1，4]上的极值及区间端点处的函数值，比较其大小，则最大者为最大值，最小者为最小值；
（Ⅱ）求出函数f（x）在[1，4]上的极值及区间端点处的函数值，比较其大小，则最大者为最大值，最小者为最小值；
解答：（Ⅰ）∵f（x）=x2（ax+b）=ax3+bx2，
∴f'（x）=3ax2+2bx，
由已知可得：
⇒
，解得
，
∴f（x）=x3-3x2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x3-3x2，f'（x）=3x2-6x，
x∈[1，4]，令f'（x）=0，得x=2，
∴当x∈[1，4]时，函数f（x）的最大值是16，最小值是-4．
∴f'（x）=3ax2+2bx，
由已知可得：
|
|
|
∴f（x）=x3-3x2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=x3-3x2，f'（x）=3x2-6x，
x∈[1，4]，令f'（x）=0，得x=2，
| x | 1 | （1，2） | 2 | （2，4） | 4 |
| f′（x） | - | 0 | + | ||
| f（x） | -2 | ↘ | 极小值-4 | ↗ | 16 |
点评：本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的极值和最值，属中档题，掌握导数与函数的极值、最值的关系是解决问题的关键．
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