Question

在甲、乙两个批次的某产品中，分别抽出3件进行质量检验．已知甲、乙批次每件产品检验不合格的概率分别为

1

4

、 

1

3

，假设每件产品检验是否合格相互之间没有影响．
（Ⅰ）求至少有2件甲批次产品检验不合格的概率；
（Ⅱ）求甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件的概率．

Answer 1

分析：（Ⅰ）少有2件甲批次产品检验不合格，包括以下两个互斥事件：①有2件甲批次产品检验不合格．②3件甲批次产品检验都不合格，这两种情况是互斥的，由相互独立事件概率乘法公式，得到结果．
（II）甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件，包括3件甲批次产品检验都不合格，且有2件乙批次产品检验不合格；有2件甲批次产品检验不合格，且有1件乙批次产品检验不合格；有1件甲批次产品检验不合格，且有0件乙批次产品检验不合格，这三种情况是互斥的，根据互斥事件的概率公式和独立重复试验的公式得到结果．

解答：解：（Ⅰ）记“至少有2件甲批次产品检验不合格”为事件A．
由题意，事件A包括以下两个互斥事件：
①事件B：有2件甲批次产品检验不合格．由n次独立重复试验中某事件发生k次的概率
公式，得P(B)=

C

2 3

•(

1

4

)2•(1-

1

4

)1=

9

64

；
②事件C：3件甲批次产品检验都不合格．由相互独立事件概率乘法公式，得P(C)=(

1

4

)3=

1

64

；
∴至少有2件甲批次产品检验不合格”的概率为P(A)=P(B)+P(C)=

5

32

，
（Ⅱ）记“甲批次产品检验不合格件数恰好比乙批次产品检验不合格件数多1件”为事件D．
由题意，事件D包括以下三个互斥事件：
①事件E：3件甲批次产品检验都不合格，且有2件乙批次产品检验不合格．
其概率P(E)=(

1

4

)3•

C

2 3

(

1

3

)2(1-

1

3

)=

1

288

；
②事件F：有2件甲批次产品检验不合格，且有1件乙批次产品检验不合格．
其概率P(F)=

C

2 3

(

1

4

)2(1-

1

4

)•

C

1 3

(

1

3

)1(1-

1

3

)2=

1

16

；
③事件G：有1件甲批次产品检验不合格，且有0件乙批次产品检验不合格．
其概率P(G)=

C

1 3

(

1

4

)1(1-

1

4

)2•(1-

1

3

)3=

1

8

；
∴事件D的概率为P(D)=P(E)+P(F)+P(G)=

55

288

．

点评：本题考查独立重复试验，考查互斥事件的概率，考查利用概率知识解决实际问题，是一个基础题，这种题目考查的情况比较多，需要仔细分析．