Question

【题目】已知函数在处有极值.

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）设，讨论函数在区间上的单调性.

Answer 1

【答案】(1) 在处有极值时，,(2)见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求出导函数，由∴且，求得或，检验后可得结果；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，利用导数研究函数的单调性和极值，分五种情况讨论，分别比较极值与端点处的函数值即可得结果.

试题解析：（Ⅰ）定义域为，

∵在处有极值，

∴且，

即

解得：或

当时，，

当时，

∴在处有极值时，.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，其单调性和极值分布情况如表：

	+	0	-	0	+
	增	极大	减	极小	增

∴①当，即时，在区间上的单调递增；

②当，即时，在区间上单调递增，在区间上单调递减；③当且，即时，在区间上单调递减；

④当，即时，在区间上的单调递减，在区间上单调递增；

⑤时，在区间上单调递增.

综上所述，当时函数在区间上的单调性为：

或时，单调递增；

时，在上的单调递增，在上单调递减；

时，单调递减；

时，在上单调递减，在上单调递增.

【方法点晴】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值，属于难题．利用导数研究函数的单调性进一步求函数最值的步骤：①确定函数的定义域；②对求导；③令，解不等式得的范围就是递增区间；令，解不等式得的范围就是递减区间；④根据单调性求函数的极值及最值（闭区间上还要注意比较端点处函数值的大小）.