Question

设f（x）是定义在R上的函数，对任意m、n∈R恒有f（m+n）=f（m）+f（n），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）证明：f（x）是奇函数；
（2）求证：f（x）在R是减函数；
（3）解不等式f(

3

x

)+f(x-1)≤-6．

Answer 1

分析：（1）根据已知中对任意的x、y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），令x=y=0，易得f（0）=0，令y=-x，结合函数奇偶性的定义，即可得到结论；
（2）根据当x＞0时，f（x）＜0，结合（1）中结论，及函数单调性的定义可得答案．
（3）根据（1）（2）的结论及f（1）=-2，我们可将不等式f(

3

x

)+f(x-1)≤-6，转化为一个关于x的分式不等式，解答可得答案．

解答：证明：（1）∵对任意的m、n∈R恒有f（m+n）=f（m）+f（n），①
令m=n=0得，f（0）=f（0）+f（0）=2f（0）（2分）
∴f（0）=0
令n=-m得，f（m-m）=f（m）+f（-m）=f（0）=0，（1分）
即f（-m）=-f（m）
即f（-x）=-f（x）
∴函数f（x）为奇函数（3分）
（2）任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，
∵f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）-f（x₁）．
∵当x＞0时，f（x）＜0，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）-f（x₁）＜0．
∴f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）是R上的减函数．
（3）∵f（1）=-2
∴f（2）=f（1）+f（1）=-2-2=-4，f（3）=f（2）+f（1）=-4-2=-6，
则不等式f(

3

x

)+f(x-1)≤-6可化为f(

3

x

+x-1)≤f(3)
由（2）中f（x）是R上的减函数
∴

3

x

+x-1≥3
即

x2-4x+3

x

≥0，
即

x(x-1)(x-3)≥0 x≠0

解得：x∈（0，1]∪[3，+∞）

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数的最值及其几何意义，其中根据已知条件判断出函数的单调性及奇偶性是解答本题的关键．