Question

五个人排成一排，按下列要求分别有多少种排法？

（1）其中甲不站排头；

（2）其中甲不站排头，乙不站排尾；

（3）其中甲、乙两人必须相邻；

（4）其中甲、乙两人必须不相邻；

（5）其中甲、乙中间有且只有一人；

（6）其中甲必须排在乙的右边.

Answer 1

解：（1）如先排甲，有4种排法，然后排其余4人，有A种排法，故有4×A=96种；如先排排头，有4种排法，然后其余4个位置有A种排法，故有4A=96种；如先不考虑排头，则5个人排成一排有A种排法，其中甲在排头有A种排法，所以甲不站排头有A-A=96种.

（2）如甲在排尾，其余四人有A种排法，如甲排在中间三个位置中一个，而乙不在排尾，则有A×A×A=54种，共有A+54=78种；如先不考虑排头、排尾，则五个人排一排有A种排法，其中甲在排头有A种，乙在排尾有A种，甲在排头且乙在排尾共有A种.故共有A-2A+A=78种.

（3）将甲、乙两人捆在一起作为一个元素，与其他3个元素作全排列有A种，然后甲乙再作全排列有A种，故有AA=48种.

（4）五个人排成一排有A种排法，除去甲、乙两人相邻的排法48种，故共有A-48=72种.如先排甲、乙以外的三个，则有A种排法；这三个之间及两端留出4个空位去排甲、乙两人有A种排法，故共有AA=72种.

（5）甲、乙两人有A种排法，从剩下的三人中选一人插入甲、乙中间，有A种，然后再将三人看作一个元素，和其他两个元素作全排列，有A种，故共有A·A·A=36种.

（6）五个人全排列有A种，甲在乙的左边的排法种数与甲在乙的右边的排法种数各占一半，故共有A=60种.