Question

已知f（x）=m^x（m为常数，m＞0且m≠1）．设f（a₁），f（a₂），…，f（a_n），…（n∈N^*）是首项为m²，公比为m的等比数列．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}是等差数列；
（Ⅱ）若b_n=a_n•f（a_n），且数列{b_n}的前n项和为S_n，当m=2时，求S_n．

Answer 1

分析：（I）根据等比数列的通项公式，可得f（a_n）=m²•m^n-1=mⁿ⁺¹，从而可得a_n=n+1，进而可证数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列；
（II）当m=2时，b_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹，利用错位相减法可求数列的和；

解答：证明：（I）由题意f（a_n）=m²•m^n-1=mⁿ⁺¹，
即man=mn+1．
∴a_n=n+1，（2分）
∴a_n+1-a_n=1，
∴数列{a_n}是以2为首项，1为公差的等差数列．
解：（II）由题意b_n=a_n•f（a_n）=（n+1）•mⁿ⁺¹，
当m=2时，b_n=（n+1）•2ⁿ⁺¹
∴S_n=2•2²+3•2³+4•2⁴+…+（n+1）•2ⁿ⁺¹　①
①式两端同乘以2，得
2S_n=2•2³+3•2⁴+4•2⁵+…+n•2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²　②
②-①并整理，得
S_n=-2•2²-2³-2⁴-2⁵-…-2ⁿ⁺¹+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-2²-（2²+2³+2⁴+…+2ⁿ⁺¹）+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-2²-

2 2(1-2n)

1-2

+（n+1）•2ⁿ⁺²
=-2²+2²（1-2ⁿ）+（n+1）•2ⁿ⁺²
=2ⁿ⁺²•n．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查数列的通项与求和，考查恒成立问题，确定数列的通项，掌握求和公式是关键．