Question

已知函数．

(Ⅰ)讨论函数在定义域内的极值点的个数；

(Ⅱ)若函数在处取得极值，且对,恒成立，

求实数的取值范围；

(Ⅲ)当且时，试比较的大小。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)当时在上没有极值点，当时，在上有一个极小值点．

(Ⅱ)．

(Ⅲ)当时，∴，

当时，∴    

【解析】

试题分析：(Ⅰ)因为函数的定义域为且，

故①当时，在上恒成立，函数在单调递减，此时在上没有极值点；

②当时，由得，由得，由得，

∴在上递减，在上递增，此时在处有极小值．

综上，当时在上没有极值点，当时，在上有一个极小值点．     4分

(Ⅱ)∵函数在处取得极值，∴，

∴，  6分

令，可得在上递减，在上递增，

∴，即．  9分

(Ⅲ)解：令，  10分

由(Ⅱ)可知在上单调递减，则在上单调递减

∴当时，>，即．  11分

当时，∴，

当时，∴    14分

考点：本题主要考查导数的应用，求函数的单调区间、极值、证明不等式。

点评：典型题，在研究函数单调区间、求极值过程中，基本方法步骤是：求导数、求驻点、解不等式、定导数符号，确定函数的单调区间及极值。利用导数证明不等式，应首先构造函数，研究函数的单调性，确定函数与最值的关系。