Question

对于数列{a_n}，定义其平均数是Vn=

a1+a2+…an

n

，n∈N^*．
（Ⅰ）若数列{a_n}的平均数V_n=2n+1，求a_n；
（Ⅱ）若数列{a_n}是首项为1，公比为2的等比数列，其平均数为V_n，Vn≥t-

1

n

对一切n∈N^*恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）因为Vn=

a1+a2+…an

n

，所以

a1+a2+…an

n

=2n+1．变形得 a1+a2+…+an=2n2+n，由此能求出a_n．
（Ⅱ）因为an=2n-1，其平均数Vn=

2n-1

n

．由Vn≥t-

1

n

对一切n∈N^*恒成立，即λ≤

2n

n

恒成立．令f(n)=

2n

n

，则

f(n+1)

f(n)

=

2n

n+1

=2-

2

n+1

，由此能求出实数t的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）因为Vn=

a1+a2+…an

n

，
所以

a1+a2+…an

n

=2n+1．
变形得 a1+a2+…+an=2n2+n，①（2分）
当n≥2时有  a1+a2+…+an-1=2(n-1)2+(n-1)②
①-②得a_n=4n-1（n≥2）．（5分）
又当n=1时，V₁=a₁=2×1+1=3，
适合a_n=4n-1．（6分）
故a_n=4n-1（n∈N^*）．（7分）
（Ⅱ）因为an=2n-1，
其平均数Vn=

2n-1

n

．（9分）
由已知Vn≥t-

1

n

对一切n∈N^*恒成立，即λ≤

2n

n

恒成立．
令f(n)=

2n

n

，
则

f(n+1)

f(n)

=

2n

n+1

=2-

2

n+1

，
当n=1时，

f(n+1)

f(n)

=1，
当n＞1，n∈N^*时，

f(n+1)

f(n)

＞1，
所以f（n）≥f（1）=2，
因此实数t的取值范围t≤2．（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和公式的应用．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．