Question

已知：函数f(x)=

3

sin2

ωx

2

+sin

ωx

2

cos

ωx

2

（ω＞0）的周期为π．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：（I）先利用二倍角公式和两角差的正弦公式，将已知函数化简为y=Asin（ωx+φ）型函数，再利用三角函数的周期计算公式计算ω即可；
（II）将内层函数置于外层函数的单调增区间上，解不等式即可得此复合函数的单调增区间

解答：解：（Ⅰ）f(x)=

3

2

(1-cosωx)+

1

2

sinωx=

3

2

-

3

2

cosωx+

1

2

sinωx=-sin

π

3

cosωx+

1

2

sinωx+

3

2

=sin(ωx-

π

3

)+

3

2

∴f(x)=sin(ωx-

π

3

)+

3

2

因为函数的周期为π
所以ω=

2π

π

=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）知　　f(x)=sin(2x-

π

3

)+

3

2

由 2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)得：kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

(k∈Z)
所以函数f（x）的单增区间为[kπ-

π

12

， kπ+

5π

12

]，其中k∈Z

点评：本题主要考查了二倍角公式、两角差的正弦公式的应用，y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，三角复合函数单调区间的求法，整体代入的思想方法