Question

已知数列{a_n}的各项均是正数，前n项和为S_n，且满足（p-1）S_n=p⁹-a_n，其中p为正常数，且p≠1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=

1

9-logpan

(n∈N+)，求数列{b_nb_n+1}的n项和T_n；
（3）设c_n=log₂a_2n-1，数列{c_n}的前n项和是H_n，若当n∈N⁺时H_n存在最大值，求p的取值范围，并求出该最大值．

Answer 1

分析：（1）利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及其已知递推式即可得出；
（2）利用“裂项求和”即可得出；
（3）方法一：利用通项，通过对公差讨论及其c_n≥0，c_n+1≤0，即可得出；
方法二：求出其前n项H_n，通过对p分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解（1）当n=1时，(p-1)a1=p9-a1，解得a1=p8＞0，
同时

(p-1)Sn=p9-an (p-1)Sn+1=p9-an+1

相减得：（p-1）（S_n+1-S_n）=a_n-a_n+1，且p≠1
整理得an+1=

1

p

an，则数列{a_n}是首项是p⁸，公比是

1

p

的等比数列．
∴an=p8(

1

p

)n-1=p9-n．
（2）bn=

1

9-logpan

=

1

9-logpp9-n

=

1

n

，
bnbn+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

．
T_n=b₁b₂+b₂b₃+b₃b₄+…+b_nb_n+1
=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．
（3）cn=log2a2n-1=log2p10-2n=(10-2n)log2p．
∵c_n+1-c_n=-2log₂p，
∴{c_n}是一个首项是c₁=8log₂p，公差是d=-2log₂p的等差数列．
方法一：当0＜p＜1时，log₂p＜0，此时H_n是存在最小值，没有最大值；
当p＞1时，log₂p＞0，此时H_n存在最大值，
由

an=(10-2n)log2p≥0 an+1=(8-2n)log2p≤0

得4≤n≤5，则H₄=H₅且为最大值，H4=4×8log2p+

4(4-1)

2

•(-2log2p)=20log2p．
方法二：Hn=

n[8log2p+(10-2n)log2p]

2

=(9n-n2)(log2p)=(-log2p)[(n-

9

2

)2-

81

4

]
由上式可知：当0＜p＜1时log₂p＜0，此时H_n是存在最小值，没有最大值；
当p＞1时log₂p＞0，此时H_n存在最大值，且H₄=H₅且为最大值，H4=(9×4-42)log2p=20log2p
故当p＞1时H_n存在最大值，H₄=H₅且为最大值是20log₂p．

点评：熟练掌握利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

及其已知递推式求a_n、“裂项求和”、等差数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论、二次函数的单调性等是解题的关键．