Question

一个底面为正三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱内接于半径为

3

的球，则该棱柱体积的最大值为

3

3

．

Answer 1

分析：画出图形，设底面正三角形的边长为a，然后根据勾股定理求得棱柱的高的一半，进而得到用a表示的三棱柱的体积，再利用导数即可求得答案．

解答：解：如图所示，设球心为O，正三棱柱的上下底面的中心分别为O₁，O₂，底面正三角形的边长为a，
则AO₂=

2

3

×

3

2

a=

3 a

3

．
由已知得O₁O₂⊥底面，
在Rt△OAO₂中，∠AO₂O=90°，由勾股定理得OO₂=

( 3 )2-( 3 a 3 )2

=

3- 1 3 a2

=

27-3a2

3

，
∴V_三棱柱=

3

4

a²×2×

27-3a2

3

=

9a4-a6

2

，
令f（a）=9a⁴-a⁶（0＜a＜2

3

），
则f′（a）=36a³-6a⁵=-6a³（a²-6），令f′（a）=0，
又∵a＞0，解得a=

6

．
∵在区间（0，

6

）上，f′（a）＞0；在区间（

6

，2

3

）上，f′（a）＜0．
∴函数f（a）在区间（0，

6

）上单调递增；在区间（

6

，2

3

）上单调递减．
∴函数f（a）在a=

6

时取得极大值．
∵函数f（a）在开区间（0，2

3

）有唯一的极值点，因此a=

6

也是最大值点．
∴（V_三棱柱）_max=

6

2

×

9-6

=3

3

．
故选C．

点评：本题考查了球的内接正三棱柱的最大体积问题，求出体积的表达式，然后利用导数求最值是解题的通法，考查计算能力．