Question

设函数f（x）=lnx-px+1，其中p为常数．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）当p＞0时，若对任意的x＞0，恒有在f（x）≤0，求p的取值范围；
（Ⅲ）求证：

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

＜

2n2-n-1

2(n+1)

(n∈N，n≥2)．

Answer 1

分析：（1）先求定义域，在函数定义域内连续可导，讨论满足f′（x）=0的点附近的导数的符号的变化情况，来确定极值点．
（2）要使f（x）≤0恒成立，只需求函数的最大值，而该函数的最大值就是极大值f(

1

p

)=ln

1

p

≤0即可．
（3）先令p=1，由（2）知，lnx-x+1≤0，从而有lnn²≤n²-1，再进行求和，利用放缩法，然后用立项求和的方法进行求和即可得证．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=lnx-px+1定义域为（0，+∞），
∴f′(x)=

1

x

-p=

1-px

x

，
当p≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上无极值点
当p＞0时，令f′（x）=0，∴x=

1

p

∈（0，+∞），f′（x）、f（x）随x的变化情况如下表：

x	（0， 1 p ）	1 p	（ 1 p ，+∞）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大值	↘

从上表可以看出：当p＞0时，f（x）有唯一的极大值点x=

1

p

（Ⅱ）当p＞0时，在x=

1

p

处取得极大值f(

1

p

)=ln

1

p

，此极大值也是最大值，
要使f（x）≤0恒成立，只需f(

1

p

)=ln

1

p

≤0，
∴p≥1
∴p的取值范围为[1，+∞）
（Ⅲ）令p=1，由（Ⅱ）知，lnx-x+1≤0，
∴lnx≤x-1，
∵n∈N，n≥2
∴lnn²≤n²-1，
∴

lnn2

n2

≤

n2-1

n2

=1-

1

n2

∴

ln22

22

+

ln32

32

+…+

lnn2

n2

≤(1-

1

22

)+(1-

1

32

)+…+(1-

1

n2

)=(n-1)-(

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

)＜(n-1)-(

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

)=(n-1)-(

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=(n-1)-(

1

2

-

1

n+1

)=

2n2-n-1

2(n+1)

∴结论成立

点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数恒等式与函数不等式问题，属于难题，得分率不高．