Question

已知函数f（x）=sinxcosx-

3

cos2x+

3

2

（1）求f（x）的最小正周期，并求其图象对称中心的坐标
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析：（1）由倍角公式和两角差的正弦公式化简解析式，再求出函数的周期，由正弦函数的对称中心得2x-

π

3

=kπ，求出此函数的对称中心的坐标；
（2）把2x-

π

3

作为一个整体，根据正弦函数的增区间和减区间，分别求出此函数的单调区间．

解答：解：（1）由题意得，f(x)=

1

2

sin2x-

3 (1+cos2x)

2

+

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin(2x-

π

3

)，
∴f（x）的最小正周期是π，
由2x-

π

3

=kπ得，x=

π

6

+

kπ

2

（k∈z），
∴其图象对称中心的坐标（

π

6

+

kπ

2

，0）（k∈z），
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

π

2

+2kπ（k∈z）得，
-

π

12

+kπ≤x≤

5π

12

+kπ（k∈z），
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

3

≤

3π

2

+2kπ（k∈z）得，

5π

12

+kπ≤x≤

11π

12

+kπ（k∈z），
∴函数f（x）的单调增区间是[-

π

12

+kπ，

5π

12

+kπ]（k∈z），
减区间是[

5π

12

+kπ，

11π

12

+kπ]（k∈z）．

点评：本题考查了倍角公式和两角差的正弦公式应用，正弦函数的性质综合应用，以及整体思想．