题目内容

若直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=a^x+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过同一个定点，则当 $数学公式$ + $数学公式$ 取最小值时，函数f（x）的解析式是 ________．

f（x）=（2 $\text{[math]}$ -2）^x+1+1
分析：解决问题的关键是求出参数a的值，由直线ax-by+2=0（a＞0，b＞0）和函数f（x）=a^x+1+1（a＞0且a≠1）的图象恒过同一个定点，得该定点的坐标是（-1，2），从而知a+2b=2，变形得 $\text{[math]}$ a+b=1，再用1的变换将 $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ 构造成可用基本不等式求最值的形式，利用等号相等的条件得到参数a，b的另一个方程，与a+2b=2联立求得a值，即可求得函数解析式．
解答：函数f（x）=a^x+1+1的图象恒过（-1，2），故 $\text{[math]}$ a+b=1，
∴ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ a+b）（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ．
当且仅当b= $\text{[math]}$ a时取等号，将b= $\text{[math]}$ a代入 $\text{[math]}$ a+b=1得a=2 $\text{[math]}$ -2，
故f（x）=（2 $\text{[math]}$ -2）^x+1+1．
故答案应为：f（x）=（2 $\text{[math]}$ -2）^x+1+1
点评：本题考点是选定系数法求函数的解析式，本题综合性较强涉及到了指数函数的性质，基本不等式求最小值，知识覆盖广，技巧性强，应仔细体会各个知识之间的转化连接点．