Question

已知函数f（x）=

2 x ， x≥2 (x-1)3， x＜2

，若关于x的方程f（x）=k-1有两个不等的实根，则实数k的取值范围是

（1，2）

．

Answer 1

分析：题目给出了分段函数，结合反比例函数和幂函数型的两段函数的图象可以看出两段函数构成的图象的最大值为1，第二段向下无限延伸，第一段无限接近x轴但不相交，求关于x的方程f（x）=k-1有两个不等的实根，就是使直线y=k-1和函数f（x）的图象有两个不同交点．

解答：解：函数的图象是取第一段的反比例函数在x≥2的部分及函数f（x）=（x-1）³在x＜2的部分，两段函数在第一象限的（2，1）处结合，要使关于x的方程f（x）=k-1有两个不等的实根，则需直线y=k-1与函数f（x）的图象有两个不同的交点，所以有0＜k-1＜1，即1＜k＜2，所以关于x的方程f（x）=k-1有两个不等的实根的实数k的取值范围是（1，2）．
故答案为（1，2）

点评：本题以函数值域为背景，考查了函数图象的交点问题，考查了数形结合的数学思想，明确关于x的方程f（x）=k-1有两个不等的实根是指的函数y=f（x）与函数y=k-1的图象有两个不同交点．