题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下顶点、右顶点、右焦点分别为B2、B1、A、F，延长B1F与AB2交于点P，若∠B1PA为钝角，则此椭圆的离心率e的取值范围为
（
-1+
5
2
，1）
（
-1+
5
2
，1）
．
分析：作出图形可得∠B1PA等于
B2A
与
F2B1
的夹角，根据∠B1PA为钝角得到
B2A
•
F2B1
＜0．算出
B2A
=（a，-b），
F2B1
=（-c，-b），利用向量数量积公式得到-ac+b2＜0，结合b2=a2-c2与离心率的公式化简，得到关于e的一元二次不等式，解之即可得到椭圆离心率e的取值范围．
解答：解：由题意得椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为a、b、c，（c=
a2-b2
）
可得∠B1PA等于向量
B2A
与
F2B1
的夹角，
∵A（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），F2（c，0）
∴
B2A
=（a，-b），
F2B1
=（-c，-b），
∵∠B1PA为钝角，∴
B2A
与
F2B1
的夹角大于
π
2
，
由此可得
B2A
•
F2B1
＜0，即-ac+b2＜0，
将b2=a2-c2代入上式得：a2-ac-c2＜0，
不等式两边都除以a2，可得1-e-e2＜0，即e2+e-1＞0，
解之得e＜
-1-
5
2
或e＞
-1+
5
2
，
结合椭圆的离心率e∈（0，1），可得
-1+
5
2
＜e＜1，即椭圆离心率的取值范围为（
-1+
5
2
，1）．
故答案为：（
-1+
5
2
，1）
点评：本题给出满足的条件，求离心率的取值范围．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、向量的数量积及其运算性质、一元二次不等式的解法等知识，属于中档题．
练习册系列答案
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已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，若|F1F2|=2，椭圆的离心率为e=
1
2

（Ⅰ）求椭圆的标准方程，
（Ⅱ）若P是椭圆上的任意一点，求
PF1
•
PA
的取值范围
（III）直线l：y=kx+m与椭圆相交于不同的两点M，N（均不是长轴的顶点），AH⊥MN垂足为H且
AH
2=
MH
•
HN
，求证：直线l恒过定点．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦点F（-c，0）是长轴的一个四等分点，点A、B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且不与y轴垂直的直线l交椭圆于C、D两点，记直线AD、BC的斜率分别为k1，k2
（1）当点D到两焦点的距离之和为4，直线l⊥x轴时，求k1：k2的值；
（2）求k1：k2的值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率是
3
2
，且经过点M（2，1），直线y=
1
2
x+m(m＜0)与椭圆相交于A，B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）当m=-1时，求△MAB的面积；
（3）求△MAB的内心的横坐标．
（2013•威海二模）已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
6
3
，过右焦点做垂直于x轴的直线与椭圆相交于两点，且两交点与椭圆的左焦点及右顶点构成的四边形面积为
2
6
3
+2．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设点M（0，2），直线l：y=1，过M任作一条不与y轴重合的直线与椭圆相交于A、B两点，若N为AB的中点，D为N在直线l上的射影，AB的中垂线与y轴交于点P．求证：
ND
•
MP
AB
2
为定值．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的右焦点为F，过F作y轴的平行线交椭圆于M、N两点，若|MN|=3，且椭圆离心率是方程2x2-5x+2=0的根，求椭圆方程．

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