Question

函数f（x）=ax²+bx+c，其中a＜0，对?x∈R，恒有f（x）=f（4-x），若f（1-3x²）＜f（1+x-x²），则x的取值范围是

（-∞，-

1

2

）∪（0，+∞）．

．

Answer 1

分析：由?x∈R，恒有f（x）=f（4-x），知f（x）的图象关于x=2对称，又由a＜0得f（x）的单调区间，根据1-3x²及1+x-x²的取值范围及函数单调性可得其大小关系，解出即可．

解答：解：由?x∈R，恒有f（x）=f（4-x），知f（x）的图象关于x=2对称，
又a＜0，所以f（x）在（-∞，2]上递增，在[2，+∞）上递减，
而1-3x²≤1＜2，1+x-x²=-(x-

1

2

)2+

5

4

≤

5

4

＜2，
故由f（1-3x²）＜f（1+x-x²），得1-3x²＜1+x-x²，即2x²+x＞0，
解得x＜-

1

2

或x＞0，
故答案为：（-∞，-

1

2

）∪（0，+∞）．

点评：本题考查二次函数的单调性及其应用，属中档题．