Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n=1，若数列{S_n+1}是公比为2的等比数列．b_n=n•2ⁿ+（-1）ⁿ•λa_n，n∈N*，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式a_n
（Ⅱ）若数列{b_n}是递增数列，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根据数列{S_n+1}是公比为2的等比数列，求出数列{S_n+1}的通项公式，再根据当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，
以及a₁=1，求数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）把（Ⅰ）中所求数列{a_n}的通项公式代入b_n=n•2ⁿ+（-1）ⁿ•λa_n，n∈N^*，求出数列{b_n}，再根据数列{b_n}是递增数列，求λ的取值范围．

解答：解：（I）∵a₁=1，且数列{S_n+1}是公比为2的等比数列．∴S₁+1=2∴，
∴S_n+1=2×2^n-1=2ⁿ，∴S_n=2ⁿ-1（n∈N^*）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，又∵a₁=1，∴a_n=2^n-1（n∈N^*）
（II）∵b_n=n•2ⁿ+（-1）ⁿ•λa_n，n∈N^*，∴b_n=[2n+（-1）ⁿλ]2^n-1
∴b_n+1=[2（n+1）+（-1）ⁿ⁺¹λ]2ⁿ=2^n-1[4n+4-2（-1）ⁿλ]
∴b_n+1-b_n═2^n-1[2n+4-3（-1）ⁿλ]＞0
∴2n+4＞3（-1）ⁿλ，
当n为奇数时，2n+4＞-3λ，∴6＞-3λ，∴λ＞-2；
当n为偶数时，2n+4＞3λ，∴8＞3λ，∴λ＜

8

3

综上所述，

8

3

＞λ＞-2

点评：本题考查了数列前n项和与通向=项之间的关系，以及根据数列的单调性求范围，做题时要认真分析．