Question

设数列{a_n}满足a₁=a, a_n+1=ca_n+1-c, N*,其中a,c为实数，且c 0.

（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设N*，求数列｛b_n｝的前n项和S_n;

（Ⅲ）若0＜a_n＜1对任意N*成立，证明0＜c1.

Answer 1

解：（Ⅰ）方法一：

∵

∴当时，是首项为，公比为的等比数列。

∴

即，

当时，仍满足上式，

∴数列的通项公式为。

方法二：

时，，

∴

时，也满足上式

所以数列的通项公式为。

（Ⅱ）由（Ⅰ）得

∴

∴

∴

（Ⅲ）证明：由（Ⅰ）知

若

则

∵，∴

由对任意成立，知

下证，用反证法。

方法一：假设，由函数的函数图像知，当趋于无穷大时，趋于无穷大。

∴不能对恒成立，导致矛盾。

∴，∴。

方法二：

假设，∵，∴

即恒成立（*）

∵为常数，∴（*）对不能恒成立，导致矛盾，∴

∴。