Question

已知数列{a_n}满足a₁=

1

4

，a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N^*）
（1）求a₂，a₃，a₄
（2）求证{

1

an

+（-1）ⁿ}为等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（3）设c_n=a_nsin

(2n-1)π

2

，数列{c_n}的前n项和为{T_n}．求证：对任意的n∈N*，Tn＜

4

7

．

Answer 1

分析：（1）利用递推式和已知即可得出；
（2）对a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

两边取倒数，再变形和利用等比数列的定义和通项公式即可得出；
（3）由sin

(2n-1)π

2

=（-1）^n-1，可得cn=(-1)n-1•

(-1)n-1

3•2n-1+1

=

1

3•2n-1+1

＜

1

3×2n-1

（n≥3）．利用放缩法和等比数列的前n项和公式即可得出．

解答：解：（1）∵数列{a_n}满足a₁=

1

4

，a_n=

an-1

(-1)nan-1-2

（n≥2，n∈N^*），
∴a2=

a1

1×a1-2

=

1 4

1 4 -2

=-

1

7

；
a3=

a2

-a2-2

=

1

13

；
a4=

a3

a3-2

=-

1

25

．
（2）∵

1

an

=(-1)n-

2

an-1

，∴

1

an

+(-1)n=(-2)[

1

an-1

+(-1)n-1]，
∵

1

a1

+(-1)=3，
∴{

1

an

+（-1）ⁿ}是首项为3，公比为-2的等比数列，
∴

1

an

+(-1)n=3×(-2)n-1，解得an=

(-1)n-1

3×2n-1+1

．
（3）∵sin

(2n-1)π

2

=（-1）^n-1，
∴cn=(-1)n-1•

(-1)n-1

3•2n-1+1

=

1

3•2n-1+1

．
当n≥3Tn=

1

3+1

+

1

3×2+1

+

1

3×22+1

+…+

1

3×2n-1+1

＜

1

4

+

1

7

+

1

3•22

+

1

3•23

+…+

1

3•2n-1

=

11

28

+

1 12 [1-( 1 2 )n-2]

1- 1 2

=

11

28

+

1

6

[1-(

1

2

)n-2]＜

11

28

+

1

6

=

47

84

＜

48

84

=

4

7

时，
又

1

4

＞T₁＞T₂＞T₃．
∴对任意的n∈N^*，Tn＜

4

7

．

点评：熟练掌握递推式的意义、取倒数法、再变形和利用等比数列的定义和通项公式、放缩法和等比数列的前n项和公式是解题的关键．