Question

过抛物线y²＝2px(p＞0)的对称轴上的定点M(m，0)(m＞0)，作直线AB与抛物线相交于A、B两点．

(1)试证明A、B两点的纵坐标之积为定值；

(2)若点N是定直线l：x＝－m上的任一点，求证：三条直线AN、MN、BN的斜率成等差数列．

Answer 1

答案：
解析：

证明：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，有y1·y2＝－2pm，下证之： 　　设直线AB的方程为x＝ty＋m，与y2＝2px联立得 　　消去x得y2－2pty－2pm＝0， 　　由根与系数间的关系，得y1·y2＝－2pm． 　　(2)设点N(－m，n)，则直线AN的斜率为kAN＝，直线BN的斜率为kBN＝， 　　∴kAN＋kBN＝ 　　 　　．又∵直线MN的斜率为kMN＝， 　　∴kAN＋kBN＝2kMN， 　　即直线AN、MN、BN的斜率成等差数列． 　　思路解析：本题第一问，涉及直线与抛物线的交点问题，求证的是这两个交点的纵坐标间的关系，不难想到联立直线与抛物线方程消去x，从而达到目的；对于第二问，容易想到将这三条直线的斜率表示出来，再通过等差数列的性质：an＝an+1＋an－1给予证明．