Question

已知函数。
（1）确定y=f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）若h（x）=x·f（x）-x-ax³在（0，2）上有极值，求实数a 的取值范围。

Answer 1

解：（1）由已知函数求导得

设
则
在（0，+∞）上恒成立，
所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，所以g（x）＜g（0）=0，所以f'（x）＜0，
因此f（x）在（0，+∞）上单调递减。
（2）由h（x）=ln（1+x）-x-ax³可得

若a≥0，对任意的x∈（0，+∞），，
所以h'（x）＜0，
所以h（x）在（0，2）上单调递减，
则f（x）在（0，2）上无极值；
若a＜0，h（x）=x·f（x）-x-ax³在（0，2）上有极值的充要条件是
φ（x）=3ax²+3ax+1在（0，2）上有零点，
所以φ（0）·φ（2）＜0，解得
综上，a的取值范围是。