Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC⊥BC，AB⊥BB₁，AC=BC=BB₁=2，D为AB的中点，且CD⊥DA₁．
（Ⅰ）求证：BB₁⊥平面ABC；
（Ⅱ）求证：BC₁∥平面CA₁D；
（Ⅲ）求三棱锥B₁-A₁DC的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要证BB₁⊥平面ABC，必须证明BB₁⊥平面ABC内的两条相交直线，AB、CD即可．
（Ⅱ）要证BC₁∥平面CA₁D，必须证明BC₁∥平面CA₁D内的一条直线，因而连接AC₁与A₁C的交点E与D，证明即可．
（Ⅲ）求三棱锥B₁-A₁DC的体积，就是求C-A₁B₁D的体积，求出底面面积和高即可．

解答：解：（1）∵AC=BC，D为AB的中点．∴CD⊥AB
又∵CD⊥DA₁，∴CD⊥平面ABB₁A₁∴CD⊥BB₁
又BB₁⊥AB，AB∩CD=D
∴BB₁⊥面ABC．

（2）连接BC₁，连接AC₁交A₁C于E，连接DE，E是AC₁中点，
D是AB中点，则DE∥BC₁，
又DE?面CA₁D₁BC₁∉面CA₁D₁
∴BC₁∥面CA₁D

（3）由（1）知CD⊥平面AA₁B₁B
故CD是三棱锥C-A₁B₁D的高
在Rt△ACB中，AC=BC=2，∴AB=2

2

，CD=

2

又BB₁=2
∴V_B1-A1DC=V_C-A1B1D=

1

3

S_△A1B1DCD=

1

6

A₁B₁×B₁B×CD
=

1

6

×2

2

× 2×

2

=

4

3

．

点评：本题考查棱柱的结构特征，考查体积计算，转化的数学思想是中档题．