题目内容

设函数f（x）对任意x1，x2∈[0，
1
2
]都有f（x1+x2）=f（x1）•f（x2），已知f（1）=2，求f（
1
2
），f（
1
4
）．
由f（x1+x2）=f（x1）•f（x2），x1，x2∈[0，
1
2
]
∴f（x）=f（
x
2
）•f（
x
2
）≥0，x∈[0，1]
∴f（1）=f（
1
2
+
1
2
）=f（
1
2
）•f（
1
2
）=f2（
1
2
）=2，
∴f（
1
2
）=
2

同理可得f（
1
2
）=f2（
1
4
）．
∴f（
1
4
）=
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练习册系列答案
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设函数f（x）对任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2
（1）证明f（x）为奇函数．
（2）证明f（x）在R上是减函数．
（3）若f（2x+5）+f（6-7x）＞4，求x的取值范围．
设函数f（x）对任意实数x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y），若x＞0时，f（x）＜0，且f（1）=2，
①求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．
②解不等式f（t-1）+f（t）＜0．
设函数f（x）对任意x∈R，都有f(x+3)=-
1
f(x)
，且当x∈（-3，-2）时，f（x）=5x，则f（201.2）=（　　）
设函数f（x）对任意x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），当x≠0时，xf（x）＜0，f（1）=-2
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）试问：在-n≤x≤n时（n∈N*），f（x）是否有最大值？如果有，求出最大值，如果没有，说明理由．
（3）解关于x的不等式
1
2
f(bx2)-f(x)≥
1
2
f(b2x)-f(b)，(b＞0)．
设函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-2．
（1）求证f（x）是奇函数；
（2）求f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

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