Question

【题目】已知.

（1）若函数有两个零点，求的取值范围；

（2）证明：当时，对任意满足的正实数，，都有.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）由求导得到，再分和两种情况结合零点存在定理讨论求解.

（2）当时，由，得到，然后两式相减解得，，令，则，然后构造函数，用导数法证明即可.

（1）的定义域是，.

①当时，，在定义域上单调递增，不可能有两个零点；

②当时，由，得，

当时，，在定义域上单调递减；

当时，，的定义域上单调递增；

∴时，取得极小值.

因为有两个零点，所以，解得，

∵，∴在有唯一实数根：

取，

设，，

所以在上递减，

所以，

即，

则，

∴在有唯一实数根.

综上，的取值范围是.

（2）当时，由，得，

两式相减得：，

则，，

令，则，

设，，

∴在上为增函数，，

又，

∴，

即.