Question

若数列{a_n}和{b_n}满足关系：an=

1+bn

1-bn

，an+1=

1

2

(an+

1

an

)n∈N^*，a₁=3．
（1）求证：数列{lgb_n}是等比数列；
（2）设T_n=b₁b₂b₃…b_n，求满足Tn≥

1

128

的n的集合M；
（3）设cn=

2 bn

bn-1

，{c_n}的前n项和为S_n，试探索a_n与S_n之间的关系式．

Answer 1

分析：（1）要证数列{lgb_n}是等比数列，需找到与lgb_n有关的式子，可把an=

1+bn

1-bn

代入an+1=

1

2

(an+

1

an

)转化成与lgb_n有关的式子；
（2）求出b_n后，代入T_n=b₁b₂b₃…b_n，然后运用同底幂相乘底数不变指数相化简得T_n，最后代入Tn≥

1

128

求n的集合；
（3）因为a_n、c_n都与b_n有关系，把b_n代入a_n、c_n的表达式后得出a_n-a_n-1=c_n（n≥2），累加后得a_n-a₁=s_n-c₁，从而得到a_n与S_n之间的关系式．

解答：解：（1）∵an=

1+bn

1-bn

∴an+1=

1+bn+1

1-bn-1

 由an+1=

1

2

(an+

1

an

)，得

1+bn+1

1-bn+1

=

1

2

(

1+bn

1-bn

+

1-bn

1+bn

)=

1+ b 2 n

1- b 2 n

，
∴bn+1=

b

2 n

，即lgb_n+1=2lgb_n，
又

1+b1

1-b1

=a1=3，b1=

1

2

，lgb₁=-lg2≠0，
所以数列{lgb_n}是等比数列，首项-lg2，公比2；
（2）由（1）得：lgbn=(-lg2)•2n-1⇒bn=(

1

2

)2n-1，Tn=b1b2…bn=(

1

2

)1+2+…+2n-1=(

1

2

)2n-1≥

1

128

⇒2n-1≤7
∴2ⁿ≤8，即n≤3，又因为n∈N^*
∴M={1，2，3}；
（3）因为an=

1+bn

1-bn

，所以an=

1+( 1 2 )2n-1

1-( 1 2 )2n-1

=

22n-1+1

22n-1-1

=1+

2

(22n-2+1)(22n-2-1)

=1+

1

22n-2-1

-

1

22n-2+1

同理an-1═

22n-2+1

22n-2-1

=1+

2

22n-2-1

，则an-an-1=

2•22n-2

1-22n-1

，又cn=

2 bn

1-bn

=

2•22n-2

1-22n-1

∴a_n-a_n-1=c_n（n≥2），
∴a_n-a₁=s_n-c₁，
∵a1=3，c1=-2

2

∴an=Sn+3+2

2

．

点评：本题考查了数列求和与不等式的综合，试题中以b_n为媒介，联系了两个数列a_n与c_n，最后考查了数列求和的累加法．解答该题的关键是如何顺利的把数列b_n的通项转化成a_n与b_n的表达式．