Question

【题目】已知函数,其中

（1）当时,求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数存在最小值,求证:.

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见解析

【解析】

（1）将代入函数,对函数求导,将代入导函数求斜率,将代入原函数求切点,最后用点斜式求曲线在点处的切线方程；

（2）先求导得,讨论当时,恒成立,则在单调递增,无最小值.当时,令得或（舍）

分别讨论时和 时的单调性,得出所以存在最小值,.再对新函数求导,根据单调性即可得出最大值为,则得证.

解：（1）时,

切线斜率

曲线在点处的切线方程为：

即：

（2）

①当时,恒成立

在单调递增,无最小值

②当时,由得或（舍）

时,,在单调递减

时,,在单调递增

所以存在最小值,

下面证明.

设函数

由得,易知在单调递增,在单调递减

所以的最大值为

所以恒成立,得证.