Question

数列{a_n}的前n项和为S_n，且a1=2，an+1=

1

3

an+2n+

5

3

(n∈N+)．
（1）若等差数列{b_n}恰好使数列{a_n+b_n}成公比为

1

3

的等比数列，求通项b_n
（2）求通项a_n
（3）求

lim

n→∞

Sn

n2

的值．

Answer 1

分析：（1）化简数列的关系式为：an+1-3(n+1)+2=

1

3

(an-3n+2)，(n∈N+)，通过等差数列{b_n}恰好使数列{a_n+b_n}成公比为

1

3

的等比数列，直接得到通项b_n．
（2）结合（1）求出数列{a_n-3n+2}的通项a_n-3n+2的表达式，然后解出通项a_n．
（3）先求出数列的前n项和，然后利用数列的极限的运算法则直接求

lim

n→∞

Sn

n2

的值．

解答：解：（1）因为a1=2，an+1=

1

3

an+2n+

5

3

(n∈N+)，
所以an+1-3(n+1)+2=

1

3

(an-3n+2)，(n∈N+)，
所以数列{a_n-3n+2}以1为首项，

1

3

为公比的等比数列，
所以b_n=-3n+2时，等差数列{b_n}恰好使数列{a_n+b_n}成公比为

1

3

的等比数列．
（2）由（1）可知数列{a_n-3n+2}以1为首项，

1

3

为公比的等比数列，
所以a_n-3n+2=（

1

3

）^n-1，所以a_n=（

1

3

）^n-1+3n-2
（3）由（2）可知，数列{a_n}的前n项和为：
Sn=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

+

3n(1+n)

2

-2n=

3

2

-

3

2

(

1

3

)n+

3n(1+n)

2

-2n；
∴

lim

n→∞

Sn

n2

=

lim

n→∞

3 2 - 3 2 ( 1 3 )n+ 3n(1+n) 2 -2n

n2

=

3

2

．

点评：本题是中档题，考查数列的递推关系式，数列通项公式的求法，数列前n项和的求法以及数列的极限的运算法则，考查计算能力，转化思想．