Question

（2013•河东区二模）对任意实数a，b，函数F（a，b）=

1

2

(a+b-|a-b|)，如果函数f（x）=-x²+2x+3，g（x）=x+1，那么函数H（x）=F（f（x），g（x））的最大值等于

3

．

Answer 1

分析：由题意可得H（x）=F（f（x），g（x））=

x+1，-1≤x≤2 -x2+2x+3，x＞2或x＜-1

，根据一次函数与二次函数的性质可求函数的最大值

解答：解：∵F（a，b）=

1

2

(a+b-|a-b|)=

b，a≥b a，a＜b

∴H（x）=F（f（x），g（x））=

g(x)，f(x)≥g(x) f(x)，f(x)＜g(x)

=

x+1，-1≤x≤2 -x2+2x+3，x＞2或x＜-1

∵当-1≤x≤2时，H（x）=x+1∈[0，3]
当x＞2或x＜-1时，H（x）=-x²+2x+3=-（x-1）²+4＜3
综上可得，函数H（x）的最大值为3
故答案为：3

点评：本题主要考查了函数的最值的求解，解题的关键是根据题目中的定义求出函数H（x）的解析式