Question

四棱锥P-ABCD中，侧面PDC是边长为2的正三角形，且与底面垂直，底面ABCD是菱形且∠ADC=60°．
（1）求证：PA⊥CD；
（2）求二面角P-AB-D的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）作PO⊥CD于O，连接OA，由侧面PDC与底面ABCD垂直，则PO⊥面ABCD．所以PO⊥OA且PO⊥OC，又由∠ADC=60°，DO=1，AD=2，知OA⊥CD，分别以OA，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能够证明PA⊥CD．
（2）分别求出平面ABP的法向量和平面ABD的法向量，利用向量法能够求出二面角P-AB-D的大小．
解答：解：（1）作PO⊥CD于O，连接OA
由侧面PDC与底面ABCD垂直，则PO⊥面ABCD
所以PO⊥OA且PO⊥OC，又由∠ADC=60°，DO=1，AD=2，
则∠DOA=90°，即OA⊥CD
分别以OA，OC，OP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
由已知P（0，0，），A（，0，0），D（0，-1，0），C（0，1，0），
∴=（，0，-），=（0，-2，0），
∴=0，∴，
∴PA⊥CD．
（2）∵P（0，0，），A（，0，0），B（，2，0），D（0，-1，0），
∴=（，0，-），=（），
，=（）
设平面ABP的法向量为，则，，
∴，解得=（1，0，1）．
设平面ABD的法向量为，则，，
∴，解得=（0，0，1），
设二面角P-AB-D的平面角为θ，
则cosθ=|cos＜＞|=||=，
∴θ=45°，
故二面角P-AB-D的大小为45°．
点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的大小的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．