Question

1．设函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，}&{x≤0}\\{lo{g}_{2}}&{x，x＞0}\end{array}\right.$，若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2at²+at，则正实数a的最小值是（　　）

• A． 1
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{1}{3}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 由题意讨论可得f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{x，x≤1}\\{lo{g}_{2}（lo{g}_{2}x），x＞1}\end{array}\right.$；从而可知f（f（x））＞1，即2at²+at＞1对任意t∈（1，+∞）恒成立，从而解得．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}，}&{x≤0}\\{lo{g}_{2}}&{x，x＞0}\end{array}\right.$，
∴当x≤0时，
f（f（x））=$lo{g}_{2}{2}^{x}$=x；
当0＜x≤1时，log₂x≤0；
故f（f（x））=${2}^{lo{g}_{2}x}$=x；
当x＞1时，
f（f（x））=log₂（log₂x）；
故f（f（x））=$\left\{\begin{array}{l}{x，x≤1}\\{lo{g}_{2}（lo{g}_{2}x），x＞1}\end{array}\right.$；
分析函数在各段上的取值范围可知，
若对任意给定的t∈（1，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2at²+at，
则f（f（x））＞1，
即2at²+at＞1，
又∵t∈（1，+∞），a＞0；
∴2a+a≥1即可，
即a≥$\frac{1}{3}$；
故选：C．

点评 本题考查了分段函数的化简及复合函数的应用，同时考查了函数的最值问题，属于中档题．