Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点(-1，-

2

2

)，两焦点为F₁、F₂，短轴的一个端点为D，且

DF1

•

DF2

=0．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线l交椭圆C于A、B两点（A、B不是上下顶点），当以AB为直径的圆恒过定点P（0，1）时，试问：直线l是否过定点，若过定点．求出该点的坐标；若不过定点，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据焦点为F₁、F₂，短轴的一个端点为D，且

DF1

•

DF2

=0，可得△DF₁F₂为等腰直角三角形，且b=c，再利用椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点(-1，-

2

2

)，即可求得椭圆的方程；
（2）①当直线l的斜率不存在时，设l：x=m，代入椭圆方程，求得A，B的坐标，利用以AB为直径的圆恒过定点P（0，1），可求l的方程；②当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b，代入椭圆方程，利用以AB为直径的圆恒过定点P（0，1），结合韦达定理，可得结论．

解答：解：（1）∵焦点为F₁、F₂，短轴的一个端点为D，且

DF1

•

DF2

=0
∴△DF₁F₂为等腰直角三角形，且b=c
∴a=

2

b
∴

x2

2b2

+

y2

b2

=1
∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)经过点(-1，-

2

2

)，
∴

1

2b2

+

1 2

b2

=1
∴b=1
∴a=

2

∴椭圆的方程为

x2

2

+y2=1；
（2）①当直线l的斜率不存在时，设l：x=m，代入椭圆方程，可得y=±

1- m2 2

∴A（m，

1- m2 2

），B（m，-

1- m2 2

），
∵以AB为直径的圆恒过定点P（0，1）
∴

PA

•

PB

=0
∴（m，

1- m2 2

-1）•（m，-

1- m2 2

-1）=0，
∴m=0
∴l：x=0；
②当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b，代入椭圆方程，消去y可得（1+2k²）x²+4kbx+2b²-2=0
△=16k²-8b²+8＞0，∴2k²＞b²-1
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=-

4kb

1+2k2

，x₁x₂=

2b2-2

1+2k2

∵以AB为直径的圆恒过定点P（0，1）
∴

PA

•

PB

=0
∴

PA

•

PB

=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1=0
∴3b²-2b-1=0
∴b=-

1

3

或b=1
当b=1时，不符合题意；
当b=-

1

3

时，直线l恒过定点（0，-

1

3

）．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查计算能力，属于中档题．