Question

定义在R上的函数f(x)=

sin 3πx 2 ，x≤0 f(x-1)-f(x-2)，x＞0

则f（2010）的值为

0

．

Answer 1

分析：可以先求出f（0）=0，f（-1）=1，根据x＞0时，f（x）=f（x-1）-f（x-2），依次递推后，可得出函数是一个以6为周期的周期函数，进而得到答案．

解答：解：∵函数f(x)=

sin 3πx 2 ，x≤0 f(x-1)-f(x-2)，x＞0

∴f（0）=0，f（-1）=1
∴f（1）=f（0）-f（-1）=-1
f（2）=f（1）-f（0）=-1
f（3）=f（2）-f（1）=0
f（4）=f（3）-f（2）=1
f（5）=f（4）-f（3）=1
f（6）=f（5）-f（4）=0
…
则f（x+6）=f（x）
∴f（2010）=f（0）=0．
故答案为：0．

点评：本题考查的知识点是周期函数，其中根据已知中函数的解析式，依次递推后，得出函数是一个以6为周期的周期函数，是解答本题的关键．