Question

已知函数f（x）=ax²-（2a+1）x+a+1．
（1）若a=2，解关于x 的不等式f（x）≥0；
（2）若对于a∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）当a=2时，解一元二次不等式即可．（2）根据一元二次不等式不等式的性质，建立恒成立的等价条件，进行求解即可．

解答：解：（1）若a=2，不等式f（x）≥0等价为2x²-5x+3≥0，
解得x≥

3

2

或x≤1，
∴不等式f（x）≥0的解集为{x|x≥

3

2

，或x≤1}．
（2）∵ax²-（2a+1）x+a+1=a（x-1）²-（x-1），
令g（a）=a（x-1）²-（x-1），
则g（a）是关于a的一次函数，且一次项的系数为（x-1）²≥0，
∴当x-1=0时，f（x）=0不合题意；
当x≠1时，g（a）为[-2，2]上的增函数，
∵f（x）＜0恒成立，
∴只要使g（a）的最大值g（2）＜0即可，
即g（2）=2（x-1）²-（x-1）＜0，
解得1＜x＜

3

2

，
综上，x的取值范围是(1，

3

2

)．

点评：本题主要考查了一元二次不等式的解法，以及不等式恒成立问题，综合性较强，考查学生的转化能力．