题目内容
已知二次函数f（x）满足：①在x=1时有极值；②图象过点（0，-3），且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数g（x）=f（x2）的单调递增区间．
解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f?（x）=2ax+b．
由题设可得：
即
解得
所以f（x）=x2-2x-3．
（2）g（x）=f（x2）=x4-2x2-3，g′（x）=4x3-4x=4x（x-1）（x+1）．列表：
由表可得：函数g（x）的单调递增区间为（-1，0），（1，+∞）．
分析：（1）先根据函数模型设出函数解析式，然后对函数f（x）求导，令f'（1）=0，f'（0）=-2，f（0）=-3建立方程组，解之即可得到答案；
（2）将函数f（x）的解析式代入求出函数g（x）的解析式后求导，令导函数大于0求出x的范围即可求出函数g（x）的单调递增区间．
点评：本题主要考查导数的几何意义、导数的正负情况和原函数的增减性的关系，属基础题．
由题设可得：
即解得所以f（x）=x2-2x-3．
（2）g（x）=f（x2）=x4-2x2-3，g′（x）=4x3-4x=4x（x-1）（x+1）．列表：
| x | （-∞，-1） | -1 | （-1，0） | 0 | （0，1） | 1 | （1，+∞） |
| f′（x） | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |
| f（x） | ↘ | ↗ | ↘ | ↗ |
分析：（1）先根据函数模型设出函数解析式，然后对函数f（x）求导，令f'（1）=0，f'（0）=-2，f（0）=-3建立方程组，解之即可得到答案；
（2）将函数f（x）的解析式代入求出函数g（x）的解析式后求导，令导函数大于0求出x的范围即可求出函数g（x）的单调递增区间．
点评：本题主要考查导数的几何意义、导数的正负情况和原函数的增减性的关系，属基础题．
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