Question

已知函数f（x）=|x|•（a-x），a∈R．
（Ⅰ）当a=4时，画出函数f（x）的大致图象，并写出其单调递增区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在x∈[0，2]上是单调递减函数，求实数a的取值范围；
（Ⅲ）若a＞0，当实数c分别取何值时，集合{x|f（x）=c}为单元素集，两元素集，三元素集？

Answer 1

分析：（Ⅰ）a=4时，根据f（x）的解析式，画出f（x）的图象．结合函数的图象，可得单调递增区间．
（Ⅱ）x∈[0，2]时，根据函数的解析式利用二次函数的性质可得若函数f（x）在x∈[0，2]上是单调递减函数，则

a

2

≤0，从而求得a的范围．
（Ⅲ）根据函数解析式，结合函数图象，根据函数f（x）的图象与直线y=c的交点个数，可得结论．

解答：解：（Ⅰ）a=4时，f(x)=

x2-4x   (x＜0) -x2+4x  (x≥0)

，
f（x）的图象如图．--------（2分）
结合函数的图象，可得单调递增区间为[0，2]．-----（4分）
（Ⅱ）x∈[0，2]时，f(x)=x(a-x)=-x2+ax=-(x-

a

2

)2+

a2

4

若函数f（x）在x∈[0，2]上是单调递减函数，则

a

2

≤0，
∴a∈（-∞，0]．---（7分）
（Ⅲ）f(x)=

-x(a-x)  ，(x＜0) x(a-x)，   (x≥0)

，
即 f(x)=

(x- a 2 )2- a2 4   ，(x＜0) -(x- a 2 )2+ a2 4 ，   (x≥0)

，
由图象知，当c∈(-∞，0)∪(

a2

4

，+∞) 时，函数f（x）的图象与直线y=c有一个交点，
方程f（x）=c的解集是单元素集；
当c=0或

a2

4

时，函数f（x）的图象与直线y=c有2个交点，方程f（x）=c的解集是两元素集；
当c∈(0，

a2

4

)时，函数f（x）的图象与直线y=c有3个交点，方程f（x）=c的解集是三元素集．

点评：本题主要考查函数的图象的作法，方程的根的存在性和个数判断，属于中档题．