Question

已知向量满足，且，（k＞0）令
（1）求（用k表示）；
（2）当k＞0时，对任意的t∈[-1，1]恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接利用，结合两边平方整理即可得到结论；
（2）当 k＞0时，先根据基本不等式求出f（k）的最小值，再把所求问题转化为g（t）=-2xt+x²-1＜0对任意的t∈[-1，1]恒成立，最后结合一次函数的知识即可得到实数x的取值范围．
解答：解：（1）由，
整理得
∴f（k）=（k＞0）…（4分）
（2）当 k＞0时f（k）=
（当且当k=1时等号成立）…（6分）
∴当 k＞0时f（k）≥对任意的t∈[-1，1]恒成立
即≥
亦即x²-2tx-1≤1对任意的t∈[-1，1]恒成立…（8分）
而x²-2tx-1=-2xt+x²-1=g（t）
∴g（t）=-2xt+x²-1＜0对任意的t∈[-1，1]恒成立
由一次函数的性质可得…（10分）
∴
∴实数的取值范围为[]
点评：本题主要考查平面向量的基本运算性质，数量积的运算性质，等价转化思想，以及恒成立问题和基本不等式的运用．是对知识的综合考查，属于中档题目．