题目内容

已知函数f（x）=2 $数学公式$ ．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值，并写出f（x）取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）= $数学公式$ b+c=2，求实数a的最小值．

解：（Ⅰ）函数f（x）=2 $\text{[math]}$ =（1+cos2x）-（sin2xcos $\text{[math]}$ -cos2xsin $\text{[math]}$ ）
=1+ $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ =1+sin（2x+ $\text{[math]}$ ）．
∴函数f（x）的最大值为2．
要使f（x）取最大值，则sin（2x+ $\text{[math]}$ ）=1，∴2x+ $\text{[math]}$ =2kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z）
∴x=kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z）．
故x的取值集合为{x|x=kπ+ $\text{[math]}$ （k∈Z）}．
（Ⅱ）由题意，f（A）=sin（2A+ $\text{[math]}$ ）+1= $\text{[math]}$ ，化简得sin（2A+ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∵A∈（0，π），∴2A+ $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$ ，∴2A+ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴A= $\text{[math]}$
在△ABC中，根据余弦定理，得 $\text{[math]}$ =（b+c）²-3bc．
由b+c=2，知 $\text{[math]}$ ，即a²≥1．
∴当b=c=1时，实数a取最小值1．
分析：（Ⅰ）利用二倍角公式及辅助角公式，化简函数，即可求得函数的最大值，从而可得f（x）取最大值时x的取值集合；
（Ⅱ）利用f（A）=sin（2A+ $\text{[math]}$ ）+1= $\text{[math]}$ ，求得A，在△ABC中，根据余弦定理，利用b+c=2，及 $\text{[math]}$ ，即可求得实数a的最小值．
点评：本题考查三角函数的化简，考查函数的最值，考查余弦定理的运用，考查基本不等式，综合性强．