Question

已知圆C：x²+y²+2x-4y+4=0
（1）过P（-2，5）作圆C的切线，求切线方程；
（2）斜率为2的直线与圆C相交，且被圆截得的弦长为，求此直线方程．
（3）Q（x，y）为圆C上的动点，求的最值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由圆的方程求出圆心和半径，当切线斜率不存在时，切线方程为 x=-2．当切线斜率存在时，用点斜式设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径，求得斜率，即可得到圆的切线方程．
（2）由题意可得可得圆心到直线的距离为 ，设直线的方程为 y=2x+b，由 =，求得b的值，可得直线的方程．
（3）由于=，表示圆上的点Q（x，y）到点（-3，-2）的距离．求出圆心C（-1，2）到点（-3，-2）的距离，将此值加上或减去半径，即得所求．
解答：解：（1）圆C：x²+y²+2x-4y+4=0 即 （x+1）²+（y-2）²=1，表示以C（-1，2）为圆心，半径等于1的圆．
过P（-2，5）作圆C的切线，当切线斜率不存在时，切线方程为 x=-2．
当切线斜率存在时，设切线方程为 y-5=k（x+2），即 kx-y+2k+5=0．
由圆心到切线的距离等于半径，可得1=，k=-，此时，切线方程为-x-y-+5=0，即4x+3y-7=0，
故圆的切线方程为 x=-2，或4x+3y-7=0．
（2）斜率为2的直线与圆C相交，且被圆截得的弦长为，可得圆心到直线的距离为 ．
可设直线的方程为 y=2x+b，即 2x-y+b=0．
由 =，b=4±，故直线方程为 2x-y+4+=0，或  2x-y+4-=0．
（3）由于=，表示圆上的点Q（x，y）到点（-3，-2）的距离．
由于圆心C（-1，2）到点（-3，-2）的距离等于2，
故的最小值为，最大值为．
点评：本题主要考查圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．