Question

4．设数列{a_n}满足a₁=0且$\frac{1}{1-{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=1
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿa_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．
（Ⅲ）设b_n=$\frac{1-\sqrt{{a}_{n+1}}}{\sqrt{n}}$，记s_n为数列{b_n}的前n项和．证明s_n＜1．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过a₁=0、$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-0}$=1可知数列{$\frac{1}{1-{a}_{n}}$}是首项、公差均为1的等差数列，计算即得结论；
（Ⅱ）通过（I）可知c_n=（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用错位相减法计算即得结论；
（Ⅲ）通过（I）裂项可知b_n=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，进而并项相加即得结论．

解答 （Ⅰ）解：∵a₁=0，
∴$\frac{1}{1-{a}_{1}}$=$\frac{1}{1-0}$=1，
又∵$\frac{1}{1-{a}_{n+1}}$-$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=1
∴数列{$\frac{1}{1-{a}_{n}}$}是首项、公差均为1的等差数列，
∴$\frac{1}{1-{a}_{n}}$=n，
∴a_n=$\frac{n-1}{n}$；
（Ⅱ）由（I）可知c_n=n•（$\frac{1}{2}$）ⁿa_n=（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
∴T_n=1•$\frac{1}{{2}^{2}}$+2•$\frac{1}{{2}^{3}}$+…+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$，
$\frac{1}{2}$T_n=1•$\frac{1}{{2}^{3}}$+2•$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+（n-2）•$\frac{1}{{2}^{n}}$+（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
两式错位相减得：$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$-（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1}{{2}^{4}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n-1}}）}{1-\frac{1}{2}}$-（n-1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$
=1-（n+1）•$\frac{1}{{2}^{n}}$；
（Ⅲ）证明：由（I）可知b_n=$\frac{1-\sqrt{{a}_{n+1}}}{\sqrt{n}}$=$\frac{1-\sqrt{\frac{n}{n+1}}}{\sqrt{n}}$=$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$，
∴S_n=1-$\frac{1}{\sqrt{2}}$+$\frac{1}{\sqrt{2}}$-$\frac{1}{\sqrt{3}}$+…+$\frac{1}{\sqrt{n}}$-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$=1-$\frac{1}{\sqrt{n+1}}$＜1．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．