Question

已知函数f(x)=x-

1

x

（x＞0）；
（Ⅰ）试判断函数f（x）的单调性，并用单调性的定义证明；
（Ⅱ）设m∈R，试比较f（-m²+2m+3）与f（|m|+5）的大小．

Answer 1

分析：（I）f（x）为单调增函数，利用单调性的定义进行证明．设x₁＞x₂＞0，则f(x1)-f(x2)=x1-

1

x1

-x2+

1

x2

=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)，根据x₁＞x₂＞0，可得x1-x2＞0，1+

1

x1x2

＞ 0
从而可得f（x）为单调增函数；
（ II）因为-m²+2m+3=-（m-1）²+4≤4，|m|+5≥5，所以-m²+2m+3＜|m|+5，利用f（x）为单调增函数，可得f（-m²+2m+3）＜f（|m|+5）

解答：（I）解：f（x）为单调增函数，
证明：设x₁＞x₂＞0，则
f(x1)-f(x2)=x1-

1

x1

-x2+

1

x2

=(x1-x2)(1+

1

x1x2

)
∵x₁＞x₂＞0
∴x1-x2＞0，1+

1

x1x2

＞ 0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0
∴f（x）为单调增函数；
（ II）解：∵-m²+2m+3=-（m-1）²+4≤4，|m|+5≥5
∴-m²+2m+3＜|m|+5
∵f（x）为单调增函数；
∴f（-m²+2m+3）＜f（|m|+5）

点评：本题以函数为载体，考查函数单调性的判断与证明，考查单调性的运用，解题的关键是把握单调性的证题步骤．