Question

当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则过点P的抛物线的标准方程是

1. A.
   y²=-x或x²=y
2. B.
   y²=x或x²=y
3. C.
   y²=x或x²=-y
4. D.
   y²=-x或x²=-y

Answer 1

A
分析：直线过定点，说明直线（a-1）x-y+2a+1=0是直线系方程，先求出定点P，再根据抛物线的标准方程，求过点P的抛物线的标准方程．
解答：当a为任意实数时，直线（a-1）x-y+2a+1=0恒过定点P，则直线可化为（x+2）a+（-x-y+1）=0，
对于a为任意实数时，此式恒成立有得，依题意抛物线为 y²=-2px和x²=2py
当y²=-2px时得9=4p，所以p=，此时抛物线方程为 y²=-x；
当x²=2py时，4=6p，所以p=，此时抛物线方程为 x²=y．
则过点P的抛物线的标准方程是：y²=-x 和x²=y．
故选A．
点评：本题考查直线系方程和抛物线的标准方程，直线系过定点的求法要当心，抛物线的四种形式不可混淆．