题目内容
（本小题满分14分）
给定椭圆
，称圆心在坐标原点
，半径为
的圆是椭圆
的“伴随圆”． 若椭圆C的一个焦点为
，其短轴上的一个端点到
距离为
．
（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ）若过点
的直线
与椭圆C只有一个公共点，且截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为
,求
的值；
（Ⅲ）过椭圆C“伴椭圆”上一动点Q作直线
，使得与椭圆C都只有一个公共点，试判断直线的斜率之积是否为定值,并说明理由．
解：（Ⅰ）由题意得：
，半焦距
则
椭圆C方程为
“伴随圆”方程为
……………3分
（Ⅱ）则设过点
且与椭圆有一个交点的直线
为：
，
则
整理得
所以
，解
① ……………5分
又因为直线截椭圆
的“伴随圆”所得的弦长为
，
则有
化简得
② ……………7分
联立①②解得，
，
所以
，
，则
……………8分
（Ⅲ）当
都有斜率时，设点
其中
，
设经过点与椭圆只有一个公共点的直线为
，
由
，消去
得到
……………10分
即
， 
，
经过化简得到：
， ……………12分
因为，所以有
，
设的斜率分别为
，因为与椭圆都只有一个公共点，
所以满足方程，
因而
，即直线的斜率之积是为定值
……………14分
练习册系列答案
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(a＞b＞0)，曲线C2的方程为y=
，且曲线C1与C2在第一象限内只有一个公共点P。（1）试用a表示点P的坐标；（2）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S(a)的值域；（3）记min{y1,y2,……,yn}为y1,y2,……,yn中最小的一个。设g(a)是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，试求函数f(a)=min{g(a), S(a)}的表达式。
=2，点（
）在函数
的图像上，其中
=
.
}是等比数列；
，求
及数列{
}的通项公式；
，求数列{
}的前n项和
，并证明
.
天(
)的销售价格(单位：元)为
，第
，已知该商品成本为每件25元.
关于第
的图像在点
处的切线与直线
平行.
，
满足的关系式；
上恒成立，求
（
）