Question

在△ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边．若a=2，C=

π

4

，cos

B

2

=

2 5

5

．
（1）求角B的余弦值；
（2）求△ABC的面积S．

Answer 1

分析：（1）根据cos

B

2

=

2 5

5

，利用二倍角的余弦公式，即可得到结论；
（2）由（1）得sinB=

4

5

，由C=

π

4

，可得sinA=

7 2

10

，再利用正弦定理，求得c=

10

7

，从而可求△ABC的面积．

解答：解：（1）由题意，得cosB=2cos2

B

2

-1=2(

2 5

5

)2-1=

3

5

；              （4分）
（2）由（1）得sinB=

4

5

，由C=

π

4

得sinA=sin(

3π

4

-B)=sin

3π

4

cosB-cos

3π

4

sinB=

7 2

10

由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

，
∴

2

7 2 10

=

c

2 2

∴c=

10

7

，
∴S=

1

2

acsinB=

1

2

×2×

10

7

×

4

5

=

8

7

故△ABC的面积是

8

7

（12分）

点评：本题考查二倍角的余弦，考查正弦定理，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确运用公式．