Question

已知函数f（x）=2

3

cos2(

π

4

-x)+cos2x+α-

3

，x∈=[0，

π

2

]的最大值为6．
（1）求实数a的值：
（2）求f（x）的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）利用三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为2sin（2x+

π

6

）+a，由 x∈=[0，

π

2

]得-1≤2sin（2x+

π

6

）≤2，故函数f（x）的最大值为2+a=6，由此求得 a 的值．
（2）令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范围即可求出f（x）的单调增区间，再由 x∈=[0，

π

2

]，进一步确定f（x）的单调增区间．

解答：解：（1）函数f（x）=2

3

cos2(

π

4

-x)+cos2x+α-

3

=

3

sin2x+cos2x+a=2sin（2x+

π

6

）+a．
∵x∈=[0，

π

2

]，∴

π

6

≤2x+

π

6

≤

7π

6

，∴-1≤2sin（2x+

π

6

）≤2，故函数f（x）的最大值为2+a=6，∴a=4．
（2）令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，可得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z．
再由x∈=[0，

π

2

]，可得 f（x）的单调增区间为[0，

π

6

]．

点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的单调增区间以及三角函数的最值，属于中档题．